The Discrete Fourier Transform (DFT) Part 1-introduction

Menurut Buku “Understanding Digital Signal Processing, Second Edition” karangan Richard G. Lyons. Discrete Fourier Transform (DFT) adalah prosedur powerful yang digunakan dalam pemrosesan sinyal digital dan filterisasi digital.  DFT menungkinkan kita untuk menganalisa, memanipulasi dan mensintesis sinyal yang tidak mungkin dapat dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog.

Sedangkan menurut buku “Handbook of Digital Signal Processing Engineering Applications”, DFT merupakan gambaran karakteristik spektrum periodik dari suatu sampel data.  DFT memiliki spectrum garis yang mewakili periode sekuensial N.  Adanya istilah “discrete fourier transform” karena DFT memberikan gambaran deret fourier untuk sekuens terbatas.

Berdasarkan kedua pengertian tersebut, maka dengan kata lain DFT merupakan prosedur matematika yang dapat digunakan untuk menentukan harmonik atau frekuensi, yang merupakan bagian dari sekuens sinyal diskrit. DFT berasal dari transformasi fourier continue X(f) yang didefinisikan sebagai :

(1)

dimana x(t) adalah sinyal continue dalam domain waktu.

Didalam pemrosesan sinyal continue, persamaan (1) digunakan untuk mentransformasikan fungsi sinyal dalam domain waktu x(t) ke domain frekuensi X(f).  Hasil dari transformasi ke domain frekuensi dimanfaatkan untuk menganalisa nilai frekuensi dari suatu sinyal dan membuka analisa baru dalam analisa sinyal serta kemungkinan-kemungkinan pemrosesan dalam bidang teknik dan fisika.  Salah satu ilmuwan dalam bidang fisika pernah berkata, “Fourier’s theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis, but it may be said to furnish an indispensible in the treatment of nearly every recondite question in modern physics.”

Dengan perkembangan computer digital, ilmuwan berhasil menyatakan DFT sebagai discrete frequency-domain sequence X(m) dimana :

(2)

Dimana x(n) adalah sekuens diskrit nilai sampel dalam fungsi waktu dari variable continue x(t).

Persamaan (2) tersebut jika dinyatakan dalam bentuk rectangular didapat :

(3)

Dimana :         X(m)    =  komponen output DFT ke-m (contohnya : X(0), X(1), X(2), dst)

M         =  indeks output DFT dalam domain frekuensi

m         =  0,1,2,3,…, N-1

x(n)      =  sekuens sampel input, x(0), x(1), x(2), dst.

n          =  indeks sampel input dalam fungsi waktu, n = 0,1,2,3,…, N-1

j           =   V-1

N          =  jumlah sampel sekuens input dan jumlah titik frekuensi di output DFT

Untuk lebih jelasnya, sebagai contoh saat N=4, n dan m bernilai 0 sampai 3, maka persamaan (3) akan mempunyai keluaran sebagai berikut:

(4)

Sebagai contoh untuk m = 0,

(5)

m = 1,2 dan 3 mempunyai penyelesaian seperti diatas.  Setiap nilai output X(m) adalah penjumlahan dari perkalian titik diantara nilai input sinyal sekuens dan bentuk sinusoidal kompleks.  Nilai frekuensi dari gelombang sinusoidal berbeda bergantung pada sampling rate (fs), samplingan sinyal awal, dan jumlah sample N.  Contohnya jika kita mensampling sinyal kontinyu dengan 500 sampel/detik, dilakukan dengan sampel data DFTE 16-titik, frekuensi dasar gelombang sinusoidalnya adalah fs/N = 500/16 atau 31,25 Hz.  Frekuensi analisa yang lain adalah multipel integral dari frekuensi dasar,

X(0)      =  frekuensi pertama, dengan frekuensi analisa        =   0 · 31.25 = 0 Hz,

X(1)      =  frekuensi kedua, dengan frekuensi analisa             =   1 · 31.25 = 31,25 Hz,

X(2)      =  frekuensi ketiga, dengan frekuensi analisa             =   2 · 31.25 = 62,5 Hz,

….

….

….

X(15)    =  frekuensi keenambelas, dengan frekuensi analisa            =   15 · 31.25 = 468,75 Hz

to be continued…

Sumber :

1. Richards G. Lyons, 2004,  “Understanding Digital Signal Processing“, Prentice-Hall.
2. Douglas F. Elliott, 1987, “Handbook of Digital Signal Processing, Engineering Applications“, Academic Press Inc.
3. Vijay K. Madisetti, 1999, “Digital Signal Processing Handbook“, Chapman & Hall.
4. B.A. Shenoi, 2006, “Introduction to Digital Signal processing and Filter Design“, John Wiley & Sons.